Un quadrat petit és una unitat.
Una fila de quadrats (10 exactament) són les desenes.
Un quadrat gran amb 10 desenes són les centenes.
Per tant per simbolitzar de forma gràfica el nombre 233, necessitem 2 quadrats grans (100 + 100), 3 files de 10 (10 + 10 + 10) i 3 unitats (quadrats petits.
Ara anem a sumar a 233 el nombre 78: 233 + 78
I si ho restem?
ALTRES REPRESENTACIONS.
Com hem vist les operacions que hem fet estan en base 10, ja que cada cop que contem deu feu un grupet. És a dir, per fer un palet hem necessitat 10 unitats i per fer un quadre hem necessitat 10 palets.
Però que passa si en contes de grupets de 10 els fem de 4? Doncs, que estem treballant en base 4. O sigui, que funcionem amb quatre nombres: el 0, 1, 2, 3, perquè el que fa quatre ja és una agrupació més gran.
I com poden ser aquestes agrupacions? Doncs, de la següent manera: les unitats són els objectes individualment, quan aconseguim 4 unitats tenim una 1 bossa. Quan tenim 4 bosses, fem una capsa. Quan tenim 4 capses, fem un sac,... i així successivament.
Per exemple, 23134) = 2 sacs + 3 capses + 1 bossa + 3 unitats
= 2 x 43 + 3 x 42 + 4 x 4 + 3
= 183 bombons en base 10 (1 centenes + 8 desenes + 3 unitats).
I, com podem fer operacions amb grups de quatre?
Per determinar això convé recordar que:
- una bossa conté 4 bombons.
- Una capsa conté 4 bosses, i per tant, conté 4 x 4 = 42= 16
- Un sac conté 4 capses, i, per tant, conté 4 x 4 x 4 = 43 = 64 caramels.
Suma: 23124) + 3324) = 33104)
2312
332
2644, però com que 4 bombons fan una bossa no ens queda cap unitat tot sola. Després, 4 bosses fan una capsa, per tant ens queda una bossa tot sola. D'altra banda, tenim 7 capses, les quals són 1 sac més 3 capses. I finalment, 2 + 1 sac = són 3 sacs.
Total = 3 sacs, 3 capses, 1 bossa, 0 unitats = 33104)
33104) quant és en base 10? = 3 x 43 + 3 x 42 + 1 x 4 + 0 = 192 + 48 + 4 = 24410)
24410) quant és en base 4? = 244 : 4 = 61 bosses i de residu 0 unitats.
61 : 4 = 15 capses i de residu 1 bossa.
15 : 4 = 3 sac i de residu 3 capsa.
Per tant, hi ha 3 sac, 3 capsa, 1 bossa i 0 unitats: 33104) = 24410)
I si fem agrupacions de 6 unitats? Amb quina base estem treballant?
Mira la següent suma:
1356) +2236) = 4026)
Mira la següent resta:
2236) - 1356) = 446)
2236) = 2 x 62 + 2 x 6 + 3 = 2 x 36 + 12 + 3 = 72 + 12 + 3 = 87
1356) = 1 x 62 + 3 x 6 + 5 = 36 + 18 + 5 = 54 + 5 = 59
446) = 4 x 6 + 4 = 24 + 4 = 28
87 – 29 = 28, per tant 446) = 28.
Exercicis.
1. Planteja una activitat per tal de treballar la idea de quantitat amb nens petits a través de la correspondència un a un, en la que no sigui necessari comptar ni emprar els nombres. En canvi sí que es poden usar quantificadors (“tots”, “alguns”, “qualsevol”...)
- El joc típic de les cadires,
- Repartir caramels o un pastís per a cada nen. Després la mestra pregunta, n’hi ha prou? O t’han sobrat trossos?
2. Indicar quin ús o usos del nombre es fa en cada una de les següents situacions:
Els usos del nombre són:
- seqüència numèrica o verbal: dir la seqüència.
- Comptatge: comptar.
- Cardinal: dir quina quantitat hi ha, diuen la seqüència i repeteixen la darrera xifra, amb la que es queden.
- Mesura: un resultat.
- Nominal: és una etiqueta, com la matricula d’un cotxe o el número de mòbil.
- Ordinal: per ordenar.
a. Cronometrar els segons que triga un nen en recórrer 100 metres. à Mesurar.
b. Comparar la quantitat de CD’s de música que tenen dos amigues. à Cardinal.
c. Agafar un nombre per comprar a la pastisseria. à Ordinal.
d. Memoritzar en el mòbil el número d’un amic. à Nominal.
e. Assignar a cada nen un dorsal abans d’una cursa. à Nominal.
3. Inventa activitats amb objectes per provocar que els nens utilitzin diferents estratègies per quantificar: subititzar, estimar, comptar i calcular.
Subititzar: jugar amb els daus. Intentar dir el nombre que han tret, sense comptar. Al principi compten, però desprès associen la imatge del dau amb una quantitat, per tant subititzen. A més, si agafen una imatge com per exemple que els punts que indiquen el tres estan en diagonal i els hi canvies aquest ordre i poses els punts d’una altra manera, ja no ho saben subititzar.
Estimar: posem una quantitat de caramels al terra o dins una bossa i els hi demanem si n’hi ha prou per als nens de la classe o quants es pensen que n’hi ha.
Comptar: per prepara alguna cosa, com: parar taula, fer un pastís, fer equips, fer una oca gegant, etc.
Calcular: màquina de canviar quantitat.s
4. Planteja activitats de classificació, ordenació, composició y descomposició de nombres amb les regletes de Cuisenaire.
Classificar: agafar totes les peces taronges o totes les petites, etc.
Ordenar: de major a menor o de menor a major.
Composició: si tinc una peça que val 1 i he d’aconseguir 10, quines peces puc emprar? Si tinc un espai de dos vuits, quines peces hi puc posar?
5. Expressa en base 3 i en base 7 les següents quantitats: 50 i 138. A continuació, realitza una suma i una resta utilitzant aquests dos nombres en base 3 i després en base 7 amb l’ajuda de representacions gràfiques. Després de fer les quatre operacions, converteix els resultats a base deu, per tal de comprovar que coincideixen.
50: 3 = 16 bosses i 2 de residu (unitats).
16 : 3 = 5 capses i 1 de residu (bossa).
5 : 3 = 1 sac i 2 de residu (capsa) = 12123).
50: 7 = 7 bosses i 1 de residu (unitats).
7 : 7 = 1 capsa i 0 de residu (bossa) = 1017).
138 : 3 = 46 bosses i 0 de residu (unitats).
46 : 3 = 15 capses i 1 de residu (bosses).
15 : 3 = 5 sacs i 0 de residu (capses).
5 : 3 = 1 palet i 2 de residu (sacs) = 120103).
138 : 7 = 19 bosses i 5 de residu (unitats).
19 : 7 = 2 capses i 5 de residu (bosses) = 2557).
138 + 50 = 188 són 202223)
120103)
+ 12123)__
202223) són unitats: 0 + 2 = 2, bosses: 1 + 1 = 2, capses: 0 + 2 = 2,
sacs: 2 + 1 = 3, palets: 1 + 0 = 1, però com que hi ha 3 sacs i aquests fan 1 palet. Un palet més un altres, són dos palets.
202223) són 2 x 34 + 2 x 32 + 2 x 3 + 2 = 2 x 81 + 18 + 6 + 2 = 162 + 26 = 188
138 – 50 = 88 à 100213)
120103)
- 12123)__
100213) à 1 x 34 + 2 x 3 +1 = 81 + 6 + 1 = 88
138 + 50 = 188 à 3567)
1017)
+ 2557)
3567) són unitats: 1 + 5 = 6, bosses: 0 + 5 = 5, capses: 1 + 2 = 3.
3567) són 3 x 72 + 5 x 7 + 6 = 3 x 49 + 35 + 6 = 147 + 41 = 188
138 – 50 = 88 són 1547)
2557)
- 1017)
1547) són unitats: 5 – 1 = 4, bosses: 5 – 0 = 5, capses: 2 – 1 = 1.
1547) són 1 x 72 + 5 x 7 + 4 = 49 + 35 + 4 = 88.
6. Donada una col·lecció de pesos de 1kg, 4kg, 16kg, 64kg..., hem de pesar amb ells 1 tona emprant el menor nombre possible de pesos. Com ho faries? Quina relació té aquest exercici amb el sistema de numeració en base quatre?
1 tona = 1000 kg.
1 kg, 4 kg, 16 kg, 64 kg, ... à múltiples de 4, per tant les agrupacions són de 4 unitats, és a dir el sistema de numeració és de base quatre.
1000 : 4 = 250 pesos de 4 kg i 0 de residu (0 pesos d’1 kg).
250 : 4 = 62 pesos de 16 kg i 2 de residu (2 pesos de 4 kg).
62 : 4 = 15 pesos de 64 kg i 2 de residu (2 pesos de 16 kg).
15 : 4 = 3 pesos de 256 kg i 3 de residu (3 pesos de 64 kg).
1000 kg à 332204)
7. Realitza els següents exercicis:
a. En un estanc hi ha segells d’1 cèntim d’euro, de 5 cèntims, de 25 cèntims i de 125 cèntims. Per enviar una carta amb un franqueig de 278 cèntims, quina és la combinació que podem posar per tal d’emprar el mínim nombre de segells? Raona la relació que pot tenir aquest problema amb el sistema de numeració de base 5.
1 cèntim, 5 cèntims, 25 cèntims, 125 cèntims, ... à múltiples de 5, per tant les agrupacions són de 5 unitats, és a dir el sistema de numeració és de base cinc.
278 : 5 = 55 monedes de 5 cèntims i 3 de residu (3 monedes d’1 cèntim).
55 : 5 = 11 monedes de 25 cèn. i 0 de residu (0 monedes de 5 cèn.).
11 : 5 = 2 monedes de 125 cèn. i 1 de residu (1 moneda de 25 cèn.).
278 cèntims són 21035
b. Si volem enviar una carta amb un franqueig de 157 cèntims i una altra amb un franqueig de 113 cèntims, quins segells necessitarem per a cada una, de forma que utilitzem el menor nombre de segells possible? Expressa les quantitats anteriors en base 5, realitza la suma en aquesta base i després passa el resultat a base 10 per comprovar que no t’has equivocat.
157 : 5 = 31 monedes de 5 cèn. i 2 de residu (2 monedes d’1 cèn.).
31 : 5 = 6 monedes de 25 cèn. i 1 de residu (1 monedes de 5 cèn.).
6 : 5 = 1 moneda de 125 cèn. i 1 de residu (1 monedes de 25 cèn.).
157 són 11125)
113 : 5 = 22 monedes de 5 cèn. i 3 de residu (3 monedes d’1 cèn.).
22 : 5 = 4 monedes de 25 cèn. i 2 de residu (2 monedes de 5 cèn.).
113 són 4235)
157 + 113 = 270 à 20405)
11125)
+ 4235)
1535, però com que 5 unitats fan una bossa à 1540, i com que 5 capses fan un sac són 20405) = 2 x 53 + 4 x 5 = 2 x 125 + 20 = 250 + 20 = 270
8. (Exemple d’examen) Imagina la següent situació i respon a les qüestions que s’indiquen: Ets un mestre/a d’una classe d’infantil i vas a portar als teus alumnes a veure una botiga de comestibles.
a. Si a classe hi ha 24 infants, quantes dotzenes d’ous tindríem que comprar per que es pugui repartir un ou a cada nen? I si volguéssim ous per als 125 nens del col·legi? Expressa en base 12 els ous corresponents als nens de la classe, i els corresponents als nens de tot el col·legi (fes-ho amb l’ajut de representacions gràfiques). Realitza el mateix procés en base 6, és a dir, considerant com a unitat bàsica la mitja dotzena.
Sistema d’unitats en base 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
24 : 12 = 2 dotzenes i 0 de residu (unitats = ous). = 2012)
125 : 12 = 10 dotzenes i 5 de residu (unitats = ous). = A512)
24 : 6 = 4 grups de 6 i 0 de residu (ous). = 406)
125 : 6 = 20 bosses (grups de 6) i 5 de residu (ous).
20 : 6 = 3 capses (grups de 62) i 2 de residu (bosses). = 3256)
3256) à= 3 x 62 + 2 x 6 + 5 = 2 x 36 + 12 + 5 = 108 + 12 = 120 + 5 = 125
b. Resta els dos nombres anteriors expressats en base 6. Després passa el resultat a base 10 per comprovar que no t’has equivocat. Quina relació pot tenir aquest exercici amb l’ensenyança de l’algorisme de la resta als nens? Argumenta breument si aquest seria un contingut adequat o no per treballar a l’Educació Infantil.
125 – 24 = 101 = 2456)
3256)
- 406)
245 = com que no hi ha prou bosses, passem una capsa a bosses i tenim: 285
– 40
245
2456) = 2 x 62 + 4 x 6 + 5 = 2 x 36 + 24 + 5 = 72 + 24 = 96 + 5 = 101
Aquest no seria un contingut adequat per a treballar a Educació Infantil, perquè en aquestes edats no poden fer agrupacions de més de 10 unitats.
c. Si la dotzena val 2 euros. Quant ens costaran els ous per als nens de la classe? Com podrien resoldre aquest problema els alumnes d’Infantil?
Tenim 24 nens.
Cada dotzena són 2 €.
Si els nens han fet una aplicació bijectiva amb els ous i els membres de la classe, s’hauran adonat que han gastat dues capses de 12 ous.
Ara, si tornem a fer una aplicació bijectiva de les monedes amb les capses d’ous, podem veure que:
- si utilitzem monedes d’1 euro, veiem que cada capsa d’ous necessita 2 monedes d’1 euro.
- si utilitzem monedes de 2 euros, veiem que cada capsa d’ous necessita 1 moneda de 2 euros.
És més adient no mesclar monedes de 1 euro i 2 euros, perquè no hi ha una relació natural entre elles, sinó que la relació que les uneix és arran d’una convenció social. (Ex.: que les monedes de 5o cèntims valguin menys que les d’un euro és per una convenció ja que si les observem las de 50 són més grans que les d’un euro i encara així tenen menys valor.
D’altra banda, és millor treballar amb les monedes d’un euro en aquest cas, ja que fan una aplicació bijectiva de 2 a 1, és a dir, per dos mones d’un euro es comprar una dotzena.
