Comencem a trobar respostes a la qüestió que encapçala aquest bloc.

Navegant per Internet (una eina que nopodria funcionar sense les matemàtiques) he trobat un article compartit per unamestra: "Las matemáticas ocultas en lavida cuotidina", de J. A. Aunión (El País, 2006).

Després de llegir-ho un pensa i comença a analitzar.

Avui, per exemple, un dia de pluja i fred, no podria estar a casa amb llum eléctrica, ni calefacció, ni escriure aquest comentari, entre d’altres coses, sense l’àrdua feina que han realitzat i encara realitzen els investigadors per a que la nostra vida sigui més confortable.

Però ara bé, d’això qui és conscient? Els que de casualitat llegim un article o escoltem a un professor parlar envers el tema, ho pensem. Però els infants de la nostra societat, són conscients o se’ls hi parla de com funcionen les coses en aquest món i gràcies a quines accions?

En la meva opinió, crec que no, i si es fa, no es realitza al nivell que tocaria. Per tant, nosaltres com a futures mestres podem fer alguna cosa?

Per suposat que sí! Podem crear o pensar activitats en les que els boixos desenvolupin tot el seu potencial, reflexionat i analitzant d’una forma crítica el món els envolta. Creieu que això és un objectiu massa ambicions per a que l’assoleixin al·lots d’entre tres i sis anys? Jo pens que no, doncs si no aspirem a una cosa millor de la que ara tenim, podrem millorar? NO! I rotundament, no!

Així, que deixem de queixar-nos i esforcem-nos per canviar allò que no ens agrada, perquè les coses es modifiquen des de baix, des dels ciments, no des del terrat! És ara quan hem d’actuar!

La presentació de les noves activitats del Racó de les Investigacions.

Ahir vàrem presentar les noves activitats del Racó de les Investigacions i va anar molt bé.

Quan vàrem deixar temps a les companyes per a experimentar amb els jocs ens adonarem que hi havia coses per millorar.

Quines?

Doncs, per exemple a l'activitat dels Transvassaments de sorra i serradura era molt difícil passar el material d'un pot a l'altre sense que caigués res fora del recipient. Això que ens pot fer pensar? Que, potser, amb l'ajuda d'un embut podria funcionar millor. Més coses. A l'activitat del llençol amb les figures geomètriques dibuixades podríem pintar les peces de fusta de diferents colors i així, si juguen diferents nens alhora, cadascú pot agafar peces d'un únic color i sap quin és el dibuix que ella ha fet. 

Provablement hi hauria moltes més coses a millorar o per canviar, però aquestes no les podrem esbrinar fins que no aconseguim posar en pràctica aquests jocs amb nens. No obstant, pensem que això serà prompte!

Altrament, estem molt agraïdes per la col·laboració de les nostres companyes de classe, ja que ens han ajudat a reflexionar.

Gràcies!

Altres nous jocs creats per nosaltres!

Aquí vos deix la presentació dels jocs que hem creat a classe.

Esper que vos agradi i vos sigui útil!

Materials per desenvolupar el pensament lògic i matemàtic a infantil

View more presentations or Upload your own.

Més exercicis!

6. Un quadrat té 36 centímetres quadrats de superfície. Quines dimensions ha de tenir un rectangle amb una superfície equivalent a la del quadrat?

Si partim el quadrat per la meitat i posem la part superior al costat de la part inferior ens surt un rectangle de 3 cm d’alt i 12 cm de llargària, per tant estam mantenint l’àrea però no el perímetre. En altres paraules, tenim un rectangle de 36 cm², ja que l’àrea és 12 cm per 3 cm i això és 36 cm².

7. En una cinta de mitja hora, en David vol grabar 3 cançons que duren 8 min 36 s, 12 min 40 s i 6 min 5 s. Podrà fer-ho? Quant temps de cinta li sobrarà o  li faltarà?

1 cançó à 8 min., 36 s. à (8 min. x 60) + 36 = 480 + 36 = 516 segons.

2 cançó à 12 min., 40 s. à (12 min. x 60) + 40 = 720 + 40 = 760 segons.

3 cançó à 6 min., 5 s. à (6 min. x 60) + 5 = 360 + 5 = 365 segons.

Per tant, les 3 cançons à 516 + 760 + 365 = 1641 segons.

La cinta són 30 min. à 30 min. x 60 = 1800 segons.

1800 – 1641 = 159 segons. 159 segons : 60 = 2 min., 39 segons.

Per tant, si que es poden gravar les tres cançons a la cinta de mitja hora i a més li sobren 159 segons, que són 2 minuts i 39 segons.

8. Un astronauta va esta fora de l’estació espacial, reparant una avaria, 8224 segons. Quantes hores, minuts i segons va trigar en arreglar lʼavaria?

8224 segons : 60 = 137 minuts i 4 de residu (segons).

                               137 : 60 = 2 hores i 17 de residu (minuts).

è    2 hores, 17 minuts i 4 segons, va estar l’astronauta fora de l’estació espacial.

Exercicis realitzats a classe (Tema 4: la mesura)

1.Quants recipients de 8000 centímetres cúbics podem omplir amb 15 litres d’aigua?

1 litre = 1 dm³.   1 litre d’aigua, pesa 1 kg.

Per passar de cm³ a dm³ à 8000 cm³ : 1000 = 8 dm³

Com 1 dm³ és 1 litre, 8 dm³ són 8 litres.

I si tenim 15 per repartir en botelles de 8 litres à 15: 8 = 1 amb 7 de residu. Per tant, és una botella i 7/8 de la segona.

2. Un got té una capacitat de 3,3 dl i un pes de 5,8 dag.

a. Quants litres caben en 120 gots com aquest?

Per passar 3,3 dl a litres à 3,3 : 10 = 0.33 litres.

120 gots x 0,33 litres cadascun = 39,6 litres.

b. Quants grams pesen 120 gots buits?

Per passar 5,8 dag a grams à5,8 x 10 = 58 grams.

120 gots x 58 grams cadascun = 6960 grams.

c. Quants grams pesen 120 gots plens?

Si 1 litre d’aigua és 1 kg, 39,6 litres seran 39,6 kg.

Per passar 39,6 kg a grams à 39,6 x 100 = 39600 grams pesen els gots plens, inclòs el recipient.

I per saber quan pesa només el contingut à 39600 + 6960 = 46560 grams pesa el contingut de 120 gots sense contenidor.

 3. Una família va comprar un pernil a 12 euros el kg. Quant va costar el pernil si el seu pes era 6kg 8hg 95g? Un cop consumit, varen pesar l’os i varen obtenir 12hg 3 dag. Quants grams de pernil varen menjar?

1 pernil à 6 kg, 8 hg, 95 g;

Per passar 8 hg a kg à 8 : 10 = 0,8 kg.

Per passar 95 g a hg à 95 x 100 = 0,095 kg.

Per tant el pernil pesa: 6 kg + 0,8 kg + 0,095 kg = 6,895 kg x 12 €/kg = 82,74 €

L’os à 12 hg, 3 dag;

Per passar 12 hg a g à 12 x 100 = 1200 grams.

Per passar 3 dag a g à 3 x 10 = 30 grams.

Per tant l’os pesa: 1200 g + 30 g = 1230 grams.

Així per passar el que pesa el pernil sencer a grams: 6,895 kg x 1000 = 6895 grams. I tenim de carn: 6895 g (pernil sencer) – 1230 g (d’os) = 5665 g de carn.

4. Un retall de tela té 1,5 metres quadrats de superfície i un altre, 75 centímetres quadrats. Quin és el més gran? Quina superfície tenen entre els dos?

1 tela à 1,5 m² de superfície.

Per passar 75 cm² a m²: 75 : 10000 = 0,0075 m². Per tant, la superfície més gran és la de 1,5 m².

I entre les dos mesuren: 1,5 + 0,00075 = 1,5075 m².

Exercicis per reflexionar envers la mesura

Per què l'àrea del triangle és base per altura?

Perquè en fer el producte dels seus dos costats ens dona la la dimensió de l'allò que hi cab dins.

Dedueix de forma raonada una fórmula per l'àrea d'un paral·lelogram qualsevol i d'un triangle qualsevol suposant coneguda la fórmula per l'àrea del rectangle.

Un paral·lelogram és un rectangle de costat: per tant la seva àrea és calcula igual que la d'un rectangle. A = b x h.

Un triangle quadrat és la meitat d'un quadrat, per tant: 2 A = b x a. És a dir, dos àrees de triangle és igual a base per altura. Així que: A = b x a / 2.

Dedueix una fórmula per tal de calcular l'àrea d'un rombe a partir de les seves diagonals i una altra per calcular l'àrea del trapezi en funció de les seves bases.

Rectangle: d x D. Per tant: el rombe = rectangle / 2 = d x D / 2.

Trapezi: si posam dos trapezis fem un paral·lelogram. I al paral·lelogram l'àrea és b x h, però si nosaltres volem saber l'àrea d'un trapezi haurem de dividir la del paral·lelogram entre 2. Per tant, queda així: (B + b) x h / 2.

Exercicis tema 3.

Anem a representar el nombre 233 amb blocs multibase.

Un quadrat petit és una unitat.

Una fila de quadrats (10 exactament) són les desenes.

Un quadrat gran amb 10 desenes són les centenes.

Per tant per simbolitzar de forma gràfica el nombre 233, necessitem 2 quadrats grans (100 + 100), 3 files de 10 (10 + 10 + 10) i 3 unitats (quadrats petits.

Ara anem a sumar a 233 el nombre 78: 233 + 78

I si ho restem?

ALTRES REPRESENTACIONS.

Com hem vist les operacions que hem fet estan en base 10, ja que cada cop que contem deu feu un grupet. És a dir, per fer un palet hem necessitat 10 unitats i per fer un quadre hem necessitat 10 palets.

Però que passa si en contes de grupets de 10 els fem de 4? Doncs, que estem treballant en base 4. O sigui, que funcionem amb quatre nombres: el 0, 1, 2, 3, perquè el que fa quatre ja és una agrupació més gran.

I com poden ser aquestes agrupacions? Doncs, de la següent manera: les unitats són els objectes individualment, quan aconseguim 4 unitats tenim una 1 bossa. Quan tenim 4 bosses, fem una capsa. Quan tenim 4 capses, fem un sac,... i així successivament.

Per exemple, 2313₄₎ = 2 sacs + 3 capses + 1 bossa + 3 unitats

= 2 x 4³ + 3 x 4² + 4 x 4 + 3

= 183 bombons en base 10 (1 centenes + 8 desenes + 3 unitats).

I, com podem fer operacions amb grups de quatre?

Per determinar això convé recordar que:

- una bossa conté 4 bombons.

- Una capsa conté 4 bosses, i per tant, conté 4 x 4 = 4²= 16

- Un sac conté 4 capses, i, per tant, conté 4 x 4 x 4 = 4³ = 64 caramels.

Suma: 2312₄₎ + 332₄₎ = 3310₄₎

2312

332

2644, però com que 4 bombons fan una bossa no ens queda cap unitat tot sola. Després, 4 bosses fan una capsa, per tant ens queda una bossa tot sola. D'altra banda, tenim 7 capses, les quals són 1 sac més 3 capses. I finalment, 2 + 1 sac = són 3 sacs.

Total = 3 sacs, 3 capses, 1 bossa, 0 unitats = 3310₄₎

3310₄₎ quant és en base 10? = 3 x 4³ + 3 x 4² + 1 x 4 + 0 = 192 + 48 + 4 = 244₁₀₎

244₁₀₎ quant és en base 4? = 244 : 4 = 61 bosses i de residu 0 unitats.

61 : 4 = 15 capses i de residu 1 bossa.

15 : 4 = 3 sac i de residu 3 capsa.

Per tant, hi ha 3 sac, 3 capsa, 1 bossa i 0 unitats: 3310_{4) =} 244₁₀₎

I si fem agrupacions de 6 unitats? Amb quina base estem treballant?

Mira la següent suma:

135₆₎ +223₆₎ = 402₆₎

_{Mira la següent resta:}

223₆₎ - 135₆₎ = 44₆₎

223_{6) =} 2 x 6² + 2 x 6 + 3 = 2 x 36 + 12 + 3 = 72 + 12 + 3 = 87

135₆₎ = 1 x 6² + 3 x 6 + 5 = 36 + 18 + 5 = 54 + 5 = 59

44₆₎ = 4 x 6 + 4 = 24 + 4 = 28

87 – 29 = 28, per tant 44₆₎ = 28.

Exercicis.

1. Planteja una activitat per tal de treballar la idea de quantitat amb nens petits a través de la correspondència un a un, en la que no sigui necessari comptar ni emprar els nombres. En canvi sí que es poden usar quantificadors (“tots”, “alguns”, “qualsevol”...)

- El joc típic de les cadires,

- Repartir caramels o un pastís per a cada nen. Després la mestra pregunta, n’hi ha prou? O t’han sobrat trossos?

2. Indicar quin ús o usos del nombre es fa en cada una de les següents situacions:

Els usos del nombre són:

- seqüència numèrica o verbal: dir la seqüència.

- Comptatge: comptar.

- Cardinal: dir quina quantitat hi ha, diuen la seqüència i repeteixen la darrera xifra, amb la que es queden.

- Mesura: un resultat.

- Nominal: és una etiqueta, com la matricula d’un cotxe o el número de mòbil.

- Ordinal: per ordenar.

a. Cronometrar els segons que triga un nen en recórrer 100 metres. à Mesurar.

b. Comparar la quantitat de CD’s de música que tenen dos amigues. à Cardinal.

c. Agafar un nombre per comprar a la pastisseria. à Ordinal.

d. Memoritzar en el mòbil el número d’un amic. à Nominal.

e. Assignar a cada nen un dorsal abans d’una cursa. à Nominal.

3. Inventa activitats amb objectes per provocar que els nens utilitzin diferents estratègies per quantificar: subititzar, estimar, comptar i calcular.

Subititzar: jugar amb els daus. Intentar dir el nombre que han tret, sense comptar. Al principi compten, però desprès associen la imatge del dau amb una quantitat, per tant subititzen. A més, si agafen una imatge com per exemple que els punts que indiquen el tres estan en diagonal i els hi canvies aquest ordre i poses els punts d’una altra manera, ja no ho saben subititzar.

Estimar: posem una quantitat de caramels al terra o dins una bossa i els hi demanem si n’hi ha prou per als nens de la classe o quants es pensen que n’hi ha.

Comptar: per prepara alguna cosa, com: parar taula, fer un pastís, fer equips, fer una oca gegant, etc.

Calcular: màquina de canviar quantitat.s

4. Planteja activitats de classificació, ordenació, composició y descomposició de nombres amb les regletes de Cuisenaire.

Classificar: agafar totes les peces taronges o totes les petites, etc.

Ordenar: de major a menor o de menor a major.

Composició: si tinc una peça que val 1 i he d’aconseguir 10, quines peces puc emprar? Si tinc un espai de dos vuits, quines peces hi puc posar?

5. Expressa en base 3 i en base 7 les següents quantitats: 50 i 138. A continuació, realitza una suma i una resta utilitzant aquests dos nombres en base 3 i després en base 7 amb l’ajuda de representacions gràfiques. Després de fer les quatre operacions, converteix els resultats a base deu, per tal de comprovar que coincideixen.

50: 3 = 16 bosses i 2 de residu (unitats).

16 : 3 = 5 capses i 1 de residu (bossa).

5 : 3 = 1 sac i 2 de residu (capsa) = 1212₃₎.

50: 7 = 7 bosses i 1 de residu (unitats).

7 : 7 = 1 capsa i 0 de residu (bossa) = 101₇₎.

138 : 3 = 46 bosses i 0 de residu (unitats).

46 : 3 = 15 capses i 1 de residu (bosses).

15 : 3 = 5 sacs i 0 de residu (capses).

5 : 3 = 1 palet i 2 de residu (sacs) = 12010₃₎.

138 : 7 = 19 bosses i 5 de residu (unitats).

19 : 7 = 2 capses i 5 de residu (bosses) = 255₇₎.

138 + 50 = 188 són 20222₃₎

12010₃₎

+ 1212_{3)__}

20222₃₎ són unitats: 0 + 2 = 2, bosses: 1 + 1 = 2, capses: 0 + 2 = 2,

sacs: 2 + 1 = 3, palets: 1 + 0 = 1, però com que hi ha 3 sacs i aquests fan 1 palet. Un palet més un altres, són dos palets.

20222₃₎ són 2 x 3⁴ + 2 x 3² + 2 x 3 + 2 = 2 x 81 + 18 + 6 + 2 = 162 + 26 = 188

138 – 50 = 88 à 10021₃₎

12010₃₎

- 1212_{3)__}

10021₃₎ à 1 x 3⁴ + 2 x 3 +1 = 81 + 6 + 1 = 88

138 + 50 = 188 à 356₇₎

101₇₎

+ 255₇₎

356₇₎ són unitats: 1 + 5 = 6, bosses: 0 + 5 = 5, capses: 1 + 2 = 3.

356₇₎ són 3 x 7² + 5 x 7 + 6 = 3 x 49 + 35 + 6 = 147 + 41 = 188

138 – 50 = 88 són 154₇₎

255₇₎

- 101₇₎

154₇₎ són unitats: 5 – 1 = 4, bosses: 5 – 0 = 5, capses: 2 – 1 = 1.

154₇₎ són 1 x 7² + 5 x 7 + 4 = 49 + 35 + 4 = 88.

6. Donada una col·lecció de pesos de 1kg, 4kg, 16kg, 64kg..., hem de pesar amb ells 1 tona emprant el menor nombre possible de pesos. Com ho faries? Quina relació té aquest exercici amb el sistema de numeració en base quatre?

1 tona = 1000 kg.

1 kg, 4 kg, 16 kg, 64 kg, ... à múltiples de 4, per tant les agrupacions són de 4 unitats, és a dir el sistema de numeració és de base quatre.

1000 : 4 = 250 pesos de 4 kg i 0 de residu (0 pesos d’1 kg).

250 : 4 = 62 pesos de 16 kg i 2 de residu (2 pesos de 4 kg).

62 : 4 = 15 pesos de 64 kg i 2 de residu (2 pesos de 16 kg).

15 : 4 = 3 pesos de 256 kg i 3 de residu (3 pesos de 64 kg).

1000 kg à 33220₄₎

7. Realitza els següents exercicis:

a. En un estanc hi ha segells d’1 cèntim d’euro, de 5 cèntims, de 25 cèntims i de 125 cèntims. Per enviar una carta amb un franqueig de 278 cèntims, quina és la combinació que podem posar per tal d’emprar el mínim nombre de segells? Raona la relació que pot tenir aquest problema amb el sistema de numeració de base 5.

1 cèntim, 5 cèntims, 25 cèntims, 125 cèntims, ... à múltiples de 5, per tant les agrupacions són de 5 unitats, és a dir el sistema de numeració és de base cinc.

278 : 5 = 55 monedes de 5 cèntims i 3 de residu (3 monedes d’1 cèntim).

55 : 5 = 11 monedes de 25 cèn. i 0 de residu (0 monedes de 5 cèn.).

11 : 5 = 2 monedes de 125 cèn. i 1 de residu (1 moneda de 25 cèn.).

278 cèntims són 2103₅

b. Si volem enviar una carta amb un franqueig de 157 cèntims i una altra amb un franqueig de 113 cèntims, quins segells necessitarem per a cada una, de forma que utilitzem el menor nombre de segells possible? Expressa les quantitats anteriors en base 5, realitza la suma en aquesta base i després passa el resultat a base 10 per comprovar que no t’has equivocat.

157 : 5 = 31 monedes de 5 cèn. i 2 de residu (2 monedes d’1 cèn.).

31 : 5 = 6 monedes de 25 cèn. i 1 de residu (1 monedes de 5 cèn.).

6 : 5 = 1 moneda de 125 cèn. i 1 de residu (1 monedes de 25 cèn.).

157 són 1112₅₎

113 : 5 = 22 monedes de 5 cèn. i 3 de residu (3 monedes d’1 cèn.).

22 : 5 = 4 monedes de 25 cèn. i 2 de residu (2 monedes de 5 cèn.).

113 són 423₅₎

157 + 113 = 270 à 2040₅₎

1112₅₎

+ 423₅₎

1535, però com que 5 unitats fan una bossa à 1540, i com que 5 capses fan un sac són 2040₅₎ = 2 x 5³ + 4 x 5 = 2 x 125 + 20 = 250 + 20 = 270

8. (Exemple d’examen) Imagina la següent situació i respon a les qüestions que s’indiquen: Ets un mestre/a d’una classe d’infantil i vas a portar als teus alumnes a veure una botiga de comestibles.

a. Si a classe hi ha 24 infants, quantes dotzenes d’ous tindríem que comprar per que es pugui repartir un ou a cada nen? I si volguéssim ous per als 125 nens del col·legi? Expressa en base 12 els ous corresponents als nens de la classe, i els corresponents als nens de tot el col·legi (fes-ho amb l’ajut de representacions gràfiques). Realitza el mateix procés en base 6, és a dir, considerant com a unitat bàsica la mitja dotzena.

Sistema d’unitats en base 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B

24 : 12 = 2 dotzenes i 0 de residu (unitats = ous). = 20₁₂₎

125 : 12 = 10 dotzenes i 5 de residu (unitats = ous). = A5₁₂₎

24 : 6 = 4 grups de 6 i 0 de residu (ous). = 40₆₎

125 : 6 = 20 bosses (grups de 6) i 5 de residu (ous).

20 : 6 = 3 capses (grups de 6²) i 2 de residu (bosses). = 325₆₎

325₆₎ à= 3 x 6² + 2 x 6 + 5 = 2 x 36 + 12 + 5 = 108 + 12 = 120 + 5 = 125

b. Resta els dos nombres anteriors expressats en base 6. Després passa el resultat a base 10 per comprovar que no t’has equivocat. Quina relació pot tenir aquest exercici amb l’ensenyança de l’algorisme de la resta als nens? Argumenta breument si aquest seria un contingut adequat o no per treballar a l’Educació Infantil.

125 – 24 = 101 = 245₆₎

325₆₎

- 40₆₎

245 = com que no hi ha prou bosses, passem una capsa a bosses i tenim: 285

– 40

245

245₆₎ = 2 x 6² + 4 x 6 + 5 = 2 x 36 + 24 + 5 = 72 + 24 = 96 + 5 = 101

Aquest no seria un contingut adequat per a treballar a Educació Infantil, perquè en aquestes edats no poden fer agrupacions de més de 10 unitats.

c. Si la dotzena val 2 euros. Quant ens costaran els ous per als nens de la classe? Com podrien resoldre aquest problema els alumnes d’Infantil?

Tenim 24 nens.

Cada dotzena són 2 €.

Si els nens han fet una aplicació bijectiva amb els ous i els membres de la classe, s’hauran adonat que han gastat dues capses de 12 ous.

Ara, si tornem a fer una aplicació bijectiva de les monedes amb les capses d’ous, podem veure que:

- si utilitzem monedes d’1 euro, veiem que cada capsa d’ous necessita 2 monedes d’1 euro.

- si utilitzem monedes de 2 euros, veiem que cada capsa d’ous necessita 1 moneda de 2 euros.

És més adient no mesclar monedes de 1 euro i 2 euros, perquè no hi ha una relació natural entre elles, sinó que la relació que les uneix és arran d’una convenció social. (Ex.: que les monedes de 5o cèntims valguin menys que les d’un euro és per una convenció ja que si les observem las de 50 són més grans que les d’un euro i encara així tenen menys valor.

D’altra banda, és millor treballar amb les monedes d’un euro en aquest cas, ja que fan una aplicació bijectiva de 2 a 1, és a dir, per dos mones d’un euro es comprar una dotzena.